مشخصات فایل
عنوان:حالت تعادل برای یک آلیاژ
قالب بندی: word
تعداد صفحات:41
محتویات
مقدمه
تعادل
سیستم های یک جزیی
انرژی گیبس به صورت تابعی از دما
اثرهای فشار
محلول های دوتایی
انرژی آزاد گیبس محلول های دوتایی
محلول ایده آل
پتانسیل شیمیایی
محلول های باقاعده
محلول واقعی
فازهای منظم شده
فاز میانی
یک نمونه فاز ساده
سیستم های با نقص در منطقه انحلال
آلیاژهای منظم شده
سیستم های اوتکتیک ساده
نمودارهای فازی دربردارنده فازهای میانی
مقدمه :
اساسی ترین کاربرد ترمودینامیک در متالوژی فیزیکی پیش بینی حالت تعادل برای یک آلیاژ است .
در بررسی های مربوط به دگرگونی های فازی ما همیشه با تغییر سیستم به سمت تعادل روبه رو هستیم. بنابراین ترمودینامیک به صورت یک ابزار بسیار سودمند می تواند عمل کند. باید توجه داشت که ترمودینامیک به تنهایی نمی تواند سرعت رسیدن به حالت تعادل را تعیین کند .
1- مقدمه :
یک فاز به عنوان بخشی از یک سیستم تعریف می شود که دارای خصوصیات و ترکیب شیمیایی یکنواخت و همگنی بوده و از نظر فیزیکی از دیگر بخشهای سیستم جداشدنی است . اجزای تشکیل دهنده یک سیستم خاص عناصر مختلف یا ترکیب های شیمیایی است که سیستم را بوجود می آورد و ترکیب شیمیایی یک فاز یا یک سیستم را می توان با مشخص کردن مقدار نسبی هر جزء تشکیل دهنده تعیین کرد .
به طور کلی دلیل رخداد یک دگرگونی این است که حالت اولیه یک آلیاژ نسبت به حالت نهایی ناپایدارتر است اما پایداری یک فاز چگونه تعیین می شود ؟ این پرسش به وسیله ترمودینامیک پاسخ داده می شود . برای دگرگونی هایی که در دما و فشار ثابت رخ می دهد پایداری نسبی یک سیستم از انرژی آزاد گیبس G آن سیستم مشخص می شود .
انرژی آزاد گیبس یک سیستم به صورت زیر تعریف می شود :
( 1-1 ) G=H-TS
که H آنتالپی T دمای مطلق و S آنتروپی سیستم است . آنتالپی میزان گنجایش حرارتی سیستم مورد نظر است و به وسیله رابطه زیر بیان می شود.
( 2-1 ) H=E+PV
که E انرژی درونی سیستم P فشار و V حجم سیستم است . انرژی درونی مجموع انرژی های پتانسیل و جنبشی اتم های درون یک سیستم است. در جامدات انرژی جنبشی تنها ناشی از حرکت ارتعاشی اتم ها است در حالی که در مایعات و گاز ها انرژی جنبشی افزون بر حرکت ارتعاشی اتم ها انرژی انتقالی و انرژی دورانی اتم ها و مولکول ها و گاز ها انرژی جنبشی افزون بر حرکت ارتعاشی اتم ها انرژی انتقالی و انرژی دورانی اتم ها و مولکول های داخل یک مایع یا گاز را نیز در برمیگیرد . انرژی پتانسیل نیز بر اثر اندرکنش ها یا پیوند بین اتم های درون یک سیستم به وجود می آید . هنگامی که یک دگرگونی یا واکنش رخ می دهد حرارت جذب شده یا حرارت آزاد شده به تغییرات در انرژی درونی سیستم ارتباط پیدا می کند اما تغییرات حرارت تابعی از تغییر حجم سیستم نیز بوده و عبارت PV نمایانگر این موضوع است بنابراین در فشار ثابت تغییرات H نشانگر حرارت جذب شده یا آزاد شده است.
هنگامی که یک فاز متراکم (جامد یا مایع) را بررسی می کنیم و عبارت PV در مقایسه با E مقدار بسیار کوچکی است که آن را نادیده می گیرند و .
عبارت دیگری که در رابطه مربوط به G پدیدار می شود آنتروپی ( S ) بوده که بیانگر میزان بی نظمی سیستم است .
هنگامی یک سیستم را در ( حالت ) تعادل می دانند که در پایدارترین حالت خود قرار گرفته باشد یعنی با گذشت زمان هیچ تغییری در سیستم ایجاد نشود . یک نتیجه مهم از قوانین ترمودینامیک کلاسیک این است که در دما و فشار ثابت یک سیستم بسته ( یعنی سیستمی که جرم و ترکیب شیمیایی آن ثابت است ) هنگامی در تعادل پایدار قرار دارد که انرژی آزاد گیپس آن کمترین مقدار ممکن را داشته باشد یا به شکل ریاضی :
( 3-1 ) dG=O
با توجه به تعریف G ( معادله 1-1 ) ملاحظه می شود که پایدارترین حالت هنگامی رخ می دهد که سیستم کمترین آنتالپی و بیشترین آنتروپی را دارا باشد . بنابراین در دماهای پایین فازهای جامد پایدارتر است چون قویترین اتصال بین اتمی را داشته بنابراین کمترین انرژی درونی ( آنتالپی ) را دارد . در دماهای بالا چون عبارت TS - عبارت غالب است بنابراین فازهایی با بی نظمی بیشتر همچون مایعات و گازها که اتم های آنها به آسانی حرکت کرده و جابه جا می شود پایدارتر است .
تعادل که به وسیله معادله 3-1 تعریف می شود را می توان به صورت ترسیمی نیز نشان داد . اگر انرژی آزاد تمام حالت های فرضی ممکن یک سیستم را محاسبه کنیم آرایش پایدار حالتی خواهد بود که انرژی آزاد آن کمترین مقدار است . این موضوع در شکل یک نشان داده شده است و با این فرض که انرژی مربوط به هر یک از آرایش های اتمی مختلف به صورت نقطه ای روی منحنی موجود قرار می گیرد آرایش یا نظم A نشانگر وجود تعادل پایدار است . در این نقطه تغییرات کوچک در ترتیب اتم ها با یک تقریب مرتبه اول تغییری در G ایجاد نمی کند یعنی معادله 3-1 برقرار است . اگر چه همیشه آرایش ها و نظم های دیگری مانند B وجود دارد که در آن نقاط انرژی آزاد به طور موضعی کمینه است و معادله 3-1 را نیز تصدیق می کند ولی کمترین مقدار ممکن G را ندارد . چنین حالت ها یا آرایش هایی را به منظور جدا کردن از حالت پایدار حالت تعادل نیمه پایدار می نامند . حالت های میانی که را حالت ناپایدار می نامند و فقط در کارهای عملی و به طور لحظه ای هنگام انتقال از یک حالت پایدار به حالت دیگر به وجود می آید . اگر بر اثر نوسان های دمایی اتم ها یک نظم یا آرایش حالت میانی بیاید این نظم بسرعت تغییر می کند و اتم ها دوباره نظم یکی از حالت های دارای انرژی آزاد کمینه را به خود می گیرند . اگر بواسطه تغییری در دما یا فشار برای مثال یک سیستم از حالت پایدار به حالت نیمه پایدار حرکت کند با گذشت زمان سیستم به حالت تعادل پایدار جدیدی تغییر حالت می دهد .
شکل یک : تغییرات شماتیک انرژی آزاد گیبس نسبت به نظم و وضعیت اتمها . آرایش یا نظم A کمترین انرژی آزاد را دارد . بنابراین هنگامی که سیستم در تعادل پایدار است دارای چنین نظمی خواهد بود . آرایش B یک تعادل نیمه پایدار است .
بر اساس قوانین ترمودینامیک هر دگرگونی که به کاهش انرژی آزاد سیستم می انجامد امکان پذیر است . بنابراین یک معیار یا ملاک لازم برای هر
دگرگونی فازی رابطه زیر است :
( 4-1 )
و به ترتیب انرژی های آزاد حالت های اولیه و نهایی سیستم است . برای یک دگرگونی لازم نیست که یکباره و به طور مستقیم به حالت تعادل پایدار نهایی برسد بلکه دگرگونی می تواند در چندین مرحله و گذر از یک سری حالت های نیمه پایدار میانی به حالت پایدار نهایی برسد .
2-سیستم های یک جزیی :
در این قسمت تغییرات فازی را بررسی می کنیم که در یک سیستم یک جزئی در اثر تغییر دما و در یک فشار ثابت (برای مثال یک اتمسفر) ایجاد می شود. سیستمی که از یک جزء تشکیل شده می تواند یک عنصر خالص یا یک نوع مولکول باشد که در محدوده دمایی مورد نظر تجزیه نمی شود. به منظور تعیین فازهای پایدار و یا دماهای مختلف فازهایی که با یکدیگر در تعادل است باید تغییرات G با دما (T) را بتوان محاسبه کرد .
1-2- انرژی گیبس به صورت تابعی از دما
گرمای ویژه بیشتر مواد بسادگی قابل اندازه گیری و به آسانی در دسترس است و معمولا مانند شکل دو ( الف ) با دما تغییر می کند . گرمای ویژه مقدار حرارتی است ( بر حسب ژول ) که باید به ماده داده شود تا دمای آن یک درجه کلوین افزایش یابد در فشار ثابت این کمیت به وسیله بیان می شود و برابر است با :
( 1-2 )
بنابراین با آگاهی از تغییرات با دما ( T ) می توان تغییرات H با T را محاسبه کرد . در بررسی های مربوط به دگرگونی فازها یا واکنش های شیمیایی فقط تغییرات توابع ترمودینامیکی مورد نیاز است . در نتیجه H را می توان با گزینش مرجعی نسبت به آن مرجع اندازه گیری کرد که معمولا نقطع مرجع را پایدارترین حالت یک عنصر خالص در دمای K 298 در نظر می گیرند و به این نقطه آنتالپی صفر را نسبت می دهند . تغییرات H با دمای T با انتگرال گیری از رابطه ( 1-2 ) به دست می آید یعنی :
( 2-2 )
تغییرات H با T به طور ترسیمی در شکل دو ب نشان داده شده است شیب منحنی T - H همان است . تغییرات آنتروپی با دما نیز از به دست می آید با توجه به ترمودینامیک کلاسیک داریم :
( 3-2 )
اگر آنتروپی در صفر مطلق را صفر در نظر بگیریم با انتگرال گیری از رابطه 3-2 داریم :
( 4-2 )
تغییرات S با دما در شکل دو پ نشان داده شده است .
شکل دو الف) تغییرات با دما ب) تغییرات آنتالپی (H) با دمای مطلق برای یک فلز خالص
پ) تغییرات آنتروپی (S) با دمای مطلق .
سرانجام تغییرات G با دما از ترکیب شکل های دو الف و ب براساس معادله 1-1 در شکل سه به دست می آید . هنگامی که دما و فشار با هم تغییر می کند انرژی آزاد گیبس براساس نتایج حاصل از ترمودینامیک کلاسیک به دست می آید . برای یک سیستم با جرم و ترکیب شیمیایی ثابت داریم :
مشخصات فایل
عنوان: پاورپوینت عدم تعادل پتاسیم
قالب بندی: پاورپوینت
تعداد اسلاید: 6
محتویات
عدم تعادل پتاسیم
برای حفظ تعادل پتاسیم
عوامل کمک کننده فزونی پتاسیم ( هایپرکالمی )
علا ئم / نشانه ها / یافته های آزمایشگاهی
و . . .
قسمتی از پاورپوینت
عدم تعادل پتاسیم
پتاسیم الکترولیت اصلی داخل سلولی است، در حقیقت 98% پتاسیم بدن در درون سلولها بوده و 2%
باقی مانده در ECF قرار دارد وهمین 2% در عملکردهای عصبی نقش مهمی را ایفا می نماید پتاسیم می
تواند بر فعالیت های عضلات اسکلتی و عضلات قلبی تاثیر گذارد. به طور مثال، هر گونه تغییر درغلظت
آن، تحریک پذیری و ریتم عضله قلب را تغییر می دهد.پتاسیم همواره بنا به نیازهای بدن و تحت تاثیر پمپ
سدیم – پتاسیم، به طرف داخل یا خارج سلول حرکت می نماید. دامنه غلظت طبیعی پتاسیم سرم 5/3 تا 5(
میلی اکی والان/ لیتر ) است و حتی نوسانات جزیی پدید آمده در آن دارای اهمیت می باشند. بیماری های
مختلف، آسیب دیدگی ها ، داروها ( مدر،میلن ها ، آنتی بیوتیک ها ) و برخی روش های درمانی خاص نظیر
شیمی درمانی و تغذیه کامل از راه تزریق (TPN )،عواملی هستند که عموما سبب عدم تعادل پتاسیم می
گردند.
و . . .
حل تمرین کتاب بررسی و طراحی استاتیک سیستم ها در تعادل - ویرایش جدید
نویسندگان: Sheppard و Tongue
فایل PDF حل تمرین به زبان انگلیسی است.
فایل PDF با بهترین کیفیت و با قابلیت جستجو در متن و کپی برداری از متن است.
مشخصات فایل
عنوان:حالت تعادل برای یک آلیاژ
قالب بندی: word
تعداد صفحات:41
محتویات
مقدمه
تعادل
سیستم های یک جزیی
انرژی گیبس به صورت تابعی از دما
اثرهای فشار
محلول های دوتایی
انرژی آزاد گیبس محلول های دوتایی
محلول ایده آل
پتانسیل شیمیایی
محلول های باقاعده
محلول واقعی
فازهای منظم شده
فاز میانی
یک نمونه فاز ساده
سیستم های با نقص در منطقه انحلال
آلیاژهای منظم شده
سیستم های اوتکتیک ساده
نمودارهای فازی دربردارنده فازهای میانی
مقدمه :
اساسی ترین کاربرد ترمودینامیک در متالوژی فیزیکی پیش بینی حالت تعادل برای یک آلیاژ است .
در بررسی های مربوط به دگرگونی های فازی ما همیشه با تغییر سیستم به سمت تعادل روبه رو هستیم. بنابراین ترمودینامیک به صورت یک ابزار بسیار سودمند می تواند عمل کند. باید توجه داشت که ترمودینامیک به تنهایی نمی تواند سرعت رسیدن به حالت تعادل را تعیین کند .
1- مقدمه :
یک فاز به عنوان بخشی از یک سیستم تعریف می شود که دارای خصوصیات و ترکیب شیمیایی یکنواخت و همگنی بوده و از نظر فیزیکی از دیگر بخشهای سیستم جداشدنی است . اجزای تشکیل دهنده یک سیستم خاص عناصر مختلف یا ترکیب های شیمیایی است که سیستم را بوجود می آورد و ترکیب شیمیایی یک فاز یا یک سیستم را می توان با مشخص کردن مقدار نسبی هر جزء تشکیل دهنده تعیین کرد .
به طور کلی دلیل رخداد یک دگرگونی این است که حالت اولیه یک آلیاژ نسبت به حالت نهایی ناپایدارتر است اما پایداری یک فاز چگونه تعیین می شود ؟ این پرسش به وسیله ترمودینامیک پاسخ داده می شود . برای دگرگونی هایی که در دما و فشار ثابت رخ می دهد پایداری نسبی یک سیستم از انرژی آزاد گیبس G آن سیستم مشخص می شود .
انرژی آزاد گیبس یک سیستم به صورت زیر تعریف می شود :
( 1-1 ) G=H-TS
که H آنتالپی T دمای مطلق و S آنتروپی سیستم است . آنتالپی میزان گنجایش حرارتی سیستم مورد نظر است و به وسیله رابطه زیر بیان می شود.
( 2-1 ) H=E+PV
که E انرژی درونی سیستم P فشار و V حجم سیستم است . انرژی درونی مجموع انرژی های پتانسیل و جنبشی اتم های درون یک سیستم است. در جامدات انرژی جنبشی تنها ناشی از حرکت ارتعاشی اتم ها است در حالی که در مایعات و گاز ها انرژی جنبشی افزون بر حرکت ارتعاشی اتم ها انرژی انتقالی و انرژی دورانی اتم ها و مولکول ها و گاز ها انرژی جنبشی افزون بر حرکت ارتعاشی اتم ها انرژی انتقالی و انرژی دورانی اتم ها و مولکول های داخل یک مایع یا گاز را نیز در برمیگیرد . انرژی پتانسیل نیز بر اثر اندرکنش ها یا پیوند بین اتم های درون یک سیستم به وجود می آید . هنگامی که یک دگرگونی یا واکنش رخ می دهد حرارت جذب شده یا حرارت آزاد شده به تغییرات در انرژی درونی سیستم ارتباط پیدا می کند اما تغییرات حرارت تابعی از تغییر حجم سیستم نیز بوده و عبارت PV نمایانگر این موضوع است بنابراین در فشار ثابت تغییرات H نشانگر حرارت جذب شده یا آزاد شده است.
هنگامی که یک فاز متراکم (جامد یا مایع) را بررسی می کنیم و عبارت PV در مقایسه با E مقدار بسیار کوچکی است که آن را نادیده می گیرند و .
عبارت دیگری که در رابطه مربوط به G پدیدار می شود آنتروپی ( S ) بوده که بیانگر میزان بی نظمی سیستم است .
هنگامی یک سیستم را در ( حالت ) تعادل می دانند که در پایدارترین حالت خود قرار گرفته باشد یعنی با گذشت زمان هیچ تغییری در سیستم ایجاد نشود . یک نتیجه مهم از قوانین ترمودینامیک کلاسیک این است که در دما و فشار ثابت یک سیستم بسته ( یعنی سیستمی که جرم و ترکیب شیمیایی آن ثابت است ) هنگامی در تعادل پایدار قرار دارد که انرژی آزاد گیپس آن کمترین مقدار ممکن را داشته باشد یا به شکل ریاضی :
( 3-1 ) dG=O
با توجه به تعریف G ( معادله 1-1 ) ملاحظه می شود که پایدارترین حالت هنگامی رخ می دهد که سیستم کمترین آنتالپی و بیشترین آنتروپی را دارا باشد . بنابراین در دماهای پایین فازهای جامد پایدارتر است چون قویترین اتصال بین اتمی را داشته بنابراین کمترین انرژی درونی ( آنتالپی ) را دارد . در دماهای بالا چون عبارت TS - عبارت غالب است بنابراین فازهایی با بی نظمی بیشتر همچون مایعات و گازها که اتم های آنها به آسانی حرکت کرده و جابه جا می شود پایدارتر است .
تعادل که به وسیله معادله 3-1 تعریف می شود را می توان به صورت ترسیمی نیز نشان داد . اگر انرژی آزاد تمام حالت های فرضی ممکن یک سیستم را محاسبه کنیم آرایش پایدار حالتی خواهد بود که انرژی آزاد آن کمترین مقدار است . این موضوع در شکل یک نشان داده شده است و با این فرض که انرژی مربوط به هر یک از آرایش های اتمی مختلف به صورت نقطه ای روی منحنی موجود قرار می گیرد آرایش یا نظم A نشانگر وجود تعادل پایدار است . در این نقطه تغییرات کوچک در ترتیب اتم ها با یک تقریب مرتبه اول تغییری در G ایجاد نمی کند یعنی معادله 3-1 برقرار است . اگر چه همیشه آرایش ها و نظم های دیگری مانند B وجود دارد که در آن نقاط انرژی آزاد به طور موضعی کمینه است و معادله 3-1 را نیز تصدیق می کند ولی کمترین مقدار ممکن G را ندارد . چنین حالت ها یا آرایش هایی را به منظور جدا کردن از حالت پایدار حالت تعادل نیمه پایدار می نامند . حالت های میانی که را حالت ناپایدار می نامند و فقط در کارهای عملی و به طور لحظه ای هنگام انتقال از یک حالت پایدار به حالت دیگر به وجود می آید . اگر بر اثر نوسان های دمایی اتم ها یک نظم یا آرایش حالت میانی بیاید این نظم بسرعت تغییر می کند و اتم ها دوباره نظم یکی از حالت های دارای انرژی آزاد کمینه را به خود می گیرند . اگر بواسطه تغییری در دما یا فشار برای مثال یک سیستم از حالت پایدار به حالت نیمه پایدار حرکت کند با گذشت زمان سیستم به حالت تعادل پایدار جدیدی تغییر حالت می دهد .
شکل یک : تغییرات شماتیک انرژی آزاد گیبس نسبت به نظم و وضعیت اتمها . آرایش یا نظم A کمترین انرژی آزاد را دارد . بنابراین هنگامی که سیستم در تعادل پایدار است دارای چنین نظمی خواهد بود . آرایش B یک تعادل نیمه پایدار است .
بر اساس قوانین ترمودینامیک هر دگرگونی که به کاهش انرژی آزاد سیستم می انجامد امکان پذیر است . بنابراین یک معیار یا ملاک لازم برای هر
دگرگونی فازی رابطه زیر است :
( 4-1 )
و به ترتیب انرژی های آزاد حالت های اولیه و نهایی سیستم است . برای یک دگرگونی لازم نیست که یکباره و به طور مستقیم به حالت تعادل پایدار نهایی برسد بلکه دگرگونی می تواند در چندین مرحله و گذر از یک سری حالت های نیمه پایدار میانی به حالت پایدار نهایی برسد .
2-سیستم های یک جزیی :
در این قسمت تغییرات فازی را بررسی می کنیم که در یک سیستم یک جزئی در اثر تغییر دما و در یک فشار ثابت (برای مثال یک اتمسفر) ایجاد می شود. سیستمی که از یک جزء تشکیل شده می تواند یک عنصر خالص یا یک نوع مولکول باشد که در محدوده دمایی مورد نظر تجزیه نمی شود. به منظور تعیین فازهای پایدار و یا دماهای مختلف فازهایی که با یکدیگر در تعادل است باید تغییرات G با دما (T) را بتوان محاسبه کرد .
1-2- انرژی گیبس به صورت تابعی از دما
گرمای ویژه بیشتر مواد بسادگی قابل اندازه گیری و به آسانی در دسترس است و معمولا مانند شکل دو ( الف ) با دما تغییر می کند . گرمای ویژه مقدار حرارتی است ( بر حسب ژول ) که باید به ماده داده شود تا دمای آن یک درجه کلوین افزایش یابد در فشار ثابت این کمیت به وسیله بیان می شود و برابر است با :
( 1-2 )
بنابراین با آگاهی از تغییرات با دما ( T ) می توان تغییرات H با T را محاسبه کرد . در بررسی های مربوط به دگرگونی فازها یا واکنش های شیمیایی فقط تغییرات توابع ترمودینامیکی مورد نیاز است . در نتیجه H را می توان با گزینش مرجعی نسبت به آن مرجع اندازه گیری کرد که معمولا نقطع مرجع را پایدارترین حالت یک عنصر خالص در دمای K 298 در نظر می گیرند و به این نقطه آنتالپی صفر را نسبت می دهند . تغییرات H با دمای T با انتگرال گیری از رابطه ( 1-2 ) به دست می آید یعنی :
( 2-2 )
تغییرات H با T به طور ترسیمی در شکل دو ب نشان داده شده است شیب منحنی T - H همان است . تغییرات آنتروپی با دما نیز از به دست می آید با توجه به ترمودینامیک کلاسیک داریم :
( 3-2 )
اگر آنتروپی در صفر مطلق را صفر در نظر بگیریم با انتگرال گیری از رابطه 3-2 داریم :
( 4-2 )
تغییرات S با دما در شکل دو پ نشان داده شده است .
شکل دو الف) تغییرات با دما ب) تغییرات آنتالپی (H) با دمای مطلق برای یک فلز خالص
پ) تغییرات آنتروپی (S) با دمای مطلق .
سرانجام تغییرات G با دما از ترکیب شکل های دو الف و ب براساس معادله 1-1 در شکل سه به دست می آید . هنگامی که دما و فشار با هم تغییر می کند انرژی آزاد گیبس براساس نتایج حاصل از ترمودینامیک کلاسیک به دست می آید . برای یک سیستم با جرم و ترکیب شیمیایی ثابت داریم :
هنگامی که یک مکانیزم میله ای حرکت می کند، نیروها را به پایه های نصب خودش وارد می شود. اگر مکانیزم متوازن نشده باشد، این نیروها منجر به ارتعاش نویز، سایش و مسئله خستگی می شوند. [1] Lowen , Berkof به تشریح کامل این مسئله پرداخته اند. آنها دو روش مکمکل یکدیگر را جهت حذف نیروها و ممانهای لرزشی وارد به زمین، ارائه کرده اند. توازن نیروها با استفاده از مجموعه بردارهای تابع زمانی خطی انجام می شود. این بردارها، توزیع جرم و موقعیت مراکز اجرام را تعریف می کنند، بطوریکه مرکز جرم کل سیستم در طی کار آن ثابت می ماند. لذا برای یک مکانیزم متوازن شده از نظر نیرویی، بردار برایند نیروهای منتقل شده به زمین نمی شود. برای دستیابی به توازن کامل، معادله اندازه حرکت نیز باید برای سیستم نوشته شود. هنگامی ممانهای لرزشی صفر می شوند که بردار برایند آنها، صفر شود. این کار با افزودن جرمهای اضافی به سیستم انجام می شود. با این کار در واقع، مرکز جرم کلی سیستم، به نحوی تغییر می کند که نیروها و ممانهای لرزشی وارد به سیستم، بهینه می شوند.
S را بعنوان مرکز جرم سیستم چهار میله ای در نظر می گیریم. rs، موقعیت S را نسبت به نقطه A مشخص می کند. لذا جرم کل سیستم عبارت است از: